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Nachdem ich mich auch als Gast nicht mit dem Network Account anmelden konnte, was ja auf jeden Fall hätte klappen sollen, habe ich es dann auf der Playstation Website versucht. Auch da kam die Meldung, dass die Eingaben nicht richtig sind. Also Passwort Reset gemacht, dem Link in der Email gefolgt und neues Passwort vergeben. Nach Erhalt der Bestätigungs-Mail ging die Anmeldung auf deren Website trotzdem nicht durch, weil bei Weiterleitung auf diese eu.secure-Adresse das Browser-Fenster weiß blieb, auch nachdem ich UBlock in Firefox deaktiviert hatte. Daraufhin am alten Laptop in Chrome probiert, da kam wenigstens eine Fehlermeldung, dass es diese Seite nicht gebe (Fehler 404). Okay, vielleicht ist deren Seite einfach schlecht. Die schnelle Gegenprobe an der Playstation als Gast-Account funktionierte dann schon mal, was ja wichtiger ist. Danach Cousin angerufen, um erstmal nur seine PS4 als primäre zu deaktivieren. Er hätte sich aber nochmal mit meinem Network Account anmelden müssen. Da ich mein Passwort nicht wiederholt in kurzer Zeit zurücksetzen wollte, wählte ich einen alternativen Weg, den ich auf manuals.playstation.net gefunden hatte: nämlich über http://account.sonyentertainmentnetwork.com/
mit dem Network Account einloggen (hier war es dann erfolgreich) und "alle Geräte deaktivieren" (hatte ja erst eins registriert).
Danach ging dann die Neuanmeldung auf meiner neuen PS4, jetzt installiere ich gerade alle Spiele und wenn anschließend die Savegames vom USB Stick funktionieren, bin ich zufrieden.